感性で学ぶ数学

数学のこと

整級数

与えられた関数列に対し、一様収束という概念を導入した。そしてその一様収束からもたらされる微分、積分に関する性質を考えた。つぎに、整級数に関する性質を調べていきたい。最終的にはテイラー展開のように、ある関数がx=a周りに整級数に展開できた時にそのx=a近傍で、関数がどのように振る舞うのかがわかる。（複素関数論）

本題の前に「整級数（冪級数）」と「収束半径」の定義をする。

整級数（冪級数）

\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - a)^{n} = a_{0} + a_{1}x + ... + a_{n} x^{n} + ... } で表される関数項級数を、x=aのまわりの冪級数という。以下、簡単のため、a = 0で議論を進める。

収束半径

次の条件が成り立つ実数Rを、与えられた整級数 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}の収束半径という。

(i) |x| \lt R に対して、 \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}は絶対収束する。

(ii) |x| \gt R に対して、 \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}は発散する


大事な定義ができたので、これから性質をみていきたい。

定理

ある整級数\sum a_{n} x^{n}に対し、\lim |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = r ( 0 \leq r \leq \infty)が存在すれば、その収束半径Rは
\displaystyle{ R = \frac{1}{r} } である。



(proof) \displaystyle{ \lim |frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} | = \lim frac{a_{n+1}}{a_{n}} ||x|} = r|x|より、ダランベールの判定法から、r|x| \lt 1のとき絶対収束、その他の時発散するからこれより絶対収束の条件は|x| \lt \frac{1}{r}である。\Box

定理

整級数\sum a_{n}x^{n}が収束半径Rを持つ時、|x| \lt Rに含まれる任意の閉区間で一様収束する。つまり、無限和f(x) = \sum a_{n}x^{n}はこの区間|x| \lt Rで連続である。



(proof) r \lt Rをとる。任意の|x| \leq rに対して、一様収束することを示せば良い。題意より、|\sum a_{n}x^{n}| \leq \sum |a_{n}|r^{n}であり、右辺は収束し、任意のn \in Nについて|a_{n}x^{n}| \lt |a_{n}|r^{n}であるからワイエルストラスM判定法（優級数定理）より、\sum a_{n}x^{n}は一様収束する。


この定理と前回の定理から直ちに次が従う。



項別積分

整級数\sum a_{n}x^{n}の収束半径がRであるとき、|x| \lt Rに含まれる任意の閉区間[a,b]で、次が成り立つ。
\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sum a_{n}x^{n} dx = \sum \int_{a}^{b} a_{n}x^{n} dx }

項別微分

整級数\sum a_{n}x^{n}の収束半径がRであるとき、このとき和f(x) = \sum a_{n}x^{n}は区間(-R, R)で微分可能で、次が成り立つ。
\displaystyle{ \frac{d}{dx} \sum a_{n}x^{n} = \sum \frac{d}{dx}( a_{n}x^{n}) }

(proof) \sum na_{n}x^{n-1}の収束半径が、Rであることを示す。すると、この区間で一様収束し前回の定理から結論を得る。
あらためて、\sum na_{n}x^{n}の収束半径をR'とする。任意のnについて、 |a_{n}x^{n}| \leq |na_{n}x^{n}|より明らかに R' \leq R。
今、 r \lt Rを満たすrに対し、任意のx s.t. x \leq rについて、 |na_{n}x^{n}| = n|\frac{x}{r}|^{n}|a_{n}r^{n}|と変形すれば、数列n|\frac{x}{r}|^{n} \to 0 なので、右辺は有界。すなわち\sum na_{n}x^{n}は絶対収束する。従って、R \leq R'。以上から、R = R'

結論

最後の結果から、収束半径内で整級数\sum a_{n}x^{n}は何回でも微分可能とわかった。これからテイラー展開が導ける。


参考

解析入門基礎数学I（杉浦）
解析演習基礎数学I（杉浦）
理工系の微分積分学 （吹田）

積分（微分）と極限の順序交換と項別微分（積分）

一様収束性についてである（関数）数列が一様収束である条件を見た。 そこからどのような性質が導かれるのかが見てみたい。

コーシーの判定条件（収束条件）

(i)関数列f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}が区間I上で収束するための必要十分条件は、任意の\epsilonにたいし、ある自然数Nが存在して\displaystyle{ | f_n(x) - f_m(x) | \lt \epsilon} (n \geq m \geq N)が成立することである。 (ii)関数項級数\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}が区間Iで収束するための必要十分条件は、任意の\epsilonにたいし、ある自然数Nが存在して\displaystyle{ | f_n(x) + ... + f_m(x) | \lt \epsilon} (n \geq m \geq N)が成立することである。

ワイエルストラスのM-判定法

関数項級数\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}に対して、ある数列M_nがあって、区間I上で \displaystyle { |f_{n}| \leq M_{n} ( n \in N)}かつ\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} \lt \inftyが成り立つ時、 \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}は区間I上で一様収束する。

(proof) 十分大きなnに対して、 \displaystyle{| f_n(x) + ... + f_m(x) | \leq | M_n + ... + M_m | \leq \epsilon}（ここで、数列M_{n}がコーシー列であることを用いた）が成り立つので前コーシーの判定条件から一様収束する。\Box

補題

整級数 \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}の収束半径をRとする。このとき、区間 |x| \lt Rで、 \displaystyle f(x) = {\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}に一様収束する。すなわち、fはこの区間で、連続である。


(proof)
r \lt Rに対して、|x| \leq rで \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}が一様収束であることを示す。 条件から、 \sum_{n=0}^{n=l} |a_{n} x^{n} | \leq \sum_{n=0}^{n=l}|a_{n}| r^{n}であり、右辺が収束するので、ワイエルストラスのM判定法で左辺は一様収束する。これと、前回の結果から \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}は連続。\Box




以上から、関数項級数に対して、一様収束するのならば、収束した関数も連続で、さらに有界区間上で関数が定義されていれば、積分が可能ので積分（微分）との関係性をみることができるようになった。




積分と極限の交換と項別積分

(i)閉区間I=[a,b]上で連続な関数列f_{n}がI上で収束するならば、次が成り立つ。

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} (\lim_{n \to \infty} f_n(x)) dx }

(ii)閉区間I=[a,b]上で関数項級数\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}が一様収束するならば、 \displaystyle{ \int_{a}^{b} \sum f_n(x) dx = \sum \int_{a}^{b} f_n(x) dx }


(proof)

(i)
以下lim f_{n} = fとする。補題から、fは閉区間上で連続だから積分可能である。一様収束から、 任意の\epsilonに対して、十分大きなnが存在して | f_n(x) - f(x) | \lt \frac{\epsilon}{b-a}が成り立つ。 従って、このnに対して
\displaystyle{|\int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x)) dx| \leq \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \lt \frac{\epsilon}{b-a} \int_{a}^{b} dx = \epsilon}
が区間I上で成り立つ。すなわち、\lim \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x)) dx = 0。\Box

(ii)も同様にS_{n} = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)として示せば良い。\Box


微分と極限の交換と項別積分

(i)各関数f_{n}(x)が区間I上で微分可能で、f'_{n}(x)が一様収束するとする。また、ある一点x_{0} \in Iで\lim f_{n}(x_{0}) = f(x_{0})であると仮定する。この時区間I上でf_{n}(x)はf(x)に収束し、次が成り立つ。
\displaystyle{ f'(x) = \frac{d}{dx} (\lim f_n(x)) = \lim ( \frac{d}{dx} f(x)) }

(ii)各関数f_{n}(x)が区間I上で微分可能で、関数項級数\sum f'_{n}(x)が一様収束するとする。また、\sum f_{n}ある一点x_{0} \in Iで収束するのならば、この時区間I上で\sum f_{n}は収束し、次が成り立つ。 \displaystyle{ \frac{d}{dx} (\sum f_n(x)) = \sum ( \frac{d}{dx} f_{n}(x)) }

(proof)

(i)
微積分の基本定理から、
\displaystyle{ f_{n}(x) - f_{n}(x_{0}) = \int_{x_{0}}^{x} f'_{n}(t) dt } これより、
\displaystyle{ f_{n}(x) = \int_{x_{0}}^{x} f'_{n}(t) dt + f_{n}(x_{0}) } ここで、f'_{n}(x)が一様収束することから前定理より積分と極限が交換できて、
\displaystyle{ \lim f_{n}(x) = \int_{x_{0}}^{x} (\lim f'_{n}(t)) dt + f(x_{0}) } あとは両辺をxについて微分すれば求める方程式が得られる。\Box
(ii)同様\Box




　結果

従ってある特定の条件を満たす関数列に対しては、積分と極限を交換して計算しても良いということがわかった。最後に、逆に積分と極限の交換が成り立たない関数列についてみて終わりたい。

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unintegrable

図のように、f_{n}を f_{n} = 0 ( x \geq \frac{1}{n}その他では図の三角形上の値をとる。 \lim f_{n} = 0だが明らかに、x=0で一様収束はしない（\because \lim f_{n}(0) = \infty。ここで積分を計算すると\int_{x \gt 0} f_n(x)dx = 1 （なぜなら積分値は三角形の面積）で あるが、一方\int_{x \gt 0} \lim f_n(x)dx = \int_{x \gt 0} 0dx = 0。よって積分と極限の交換が成立しない

これらの結果は、整級数の性質を調べる時にも使われる。

参考

解析入門基礎数学I（杉浦）
解析演習基礎数学I（杉浦）
理工系の微分積分学 （吹田）

一様収束性について

関数fについて、なぜ一様収束を考えるのか。

はじめに

区間I = [0, 1]上の関数列 { f(x_{n}) }_{n=1}^{\infty}、f(x_{n}) = x^{n}を考えたい。明らかに、

\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 ( 0 \leq x \lt 1 ) = 1 ( x = 1) }

従って、図は以下のようになるため、各点に収束した関数 f(x) = 0 ( 0 \leq x \lt 1) = 1 ( x = 1)は、x = 1で不連続になってしまう。

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各点収束

ここで、関数列の収束を考える上でもう少し「都合の良い」条件を考える必要がありそうだ。つまり、連続な関数列f(x_{n})が、その収束した先の関数f(x)も連続となるような条件はなんであろうか。

その答えが、「一様収束」という概念である。

一様収束

区間I上で連続な実数値関数列f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}がf(x)に一様収束するとは、 任意の正の\epsilonに対し、ある自然数Nが存在して、 | f_{n}(x) - f(x)| \lt \epsilon ( n \geq N) が成り立つことである。

ポイントは、この収束がxに依存しないことである。先に見た関数の例 f_{n}(x) = x^{n}では各点xで収束はするが、x=1の時この条件は成立しない。

まず、このときに必ず収束先のfが連続になることを示そう。

定理

区間I上で実数値関数列f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}がf(x)に一様収束するとき、fもまた区間I上で連続な関数である。

(proof) まず関数列{f_{n}(x)}_{n=1}^{\infty}がf(x)に一様収束しているから、任意のx \in Iと\epsilon \gt 0に対して、 | f_{n}(x) - f(x)| \lt \frac{\epsilon}{3} ( n \geq N)となるn \in Nが存在する。

次に、関数列f_{n}(x)の連続性から、任意のx_{0} \in Iと\epsilon \gt 0に対して、 | f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| \lt \frac{\epsilon}{3} ( | x - x_{0} | \lt \delta)となる\delta \gt 0が存在する。

以上から、これらの\epsilon, n, \deltaに対して、 | f(x) - f(x_{0}) | \lt | f(x) - f_{n}(x)| + | f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| + | f-_{n}(x_{0}) - f(x_{0})| \lt 3 * \frac{\epsilon}{3} = \epsilon

であるとわかった。これが任意のx_{0} \in Iで成り立つので従って、fも区間I上で連続であると示された。

結論

これを踏まえて、一様収束の何が嬉しいのかというのは例をあげると、

が大学の1年生時点で理解する性質である。ここで、閉区間上の連続関数は（リーマン）積分可能ということが重要な性質であった。 これらはもっと一般の関数解析の枠で考えた時に、与えられた関数列の性質を調べるのに非常に大切な概念である。（このとき距離は、一般化されたノルムという概念が導入される）。 詳しいことは今後掲載する。

参考

解析入門基礎数学I（杉浦）
解析演習基礎数学I（杉浦）
理工系の微分積分学 （吹田）

ロピタルの定理

以下、特に断らない限りf,gは実数上の実数値関数とする。

Rolle's Theorem

関数fを[a,b]上で連続, (a,b)で微分可能で、 f(a) = f(b) = 0とする。 このとき、a < c < b で\ f'(c) = 0\を満たすcが存在する。

(proof)

f \equiv 0ならば自明。以下f \neq 0とする。 fは有界区間上の連続関数だから、最大値と最小値をとる。x=c (a < c < b )で最大値Mをとるとする。以下、f'(c) = 0を示したい。
いま、次のいずれかの条件が成り立っている。
(i) \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0 if x >= c
(ii) \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0 if x <= c

これより、 \displaystyle \lim_{x \to c+0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0 かつ \displaystyle \lim_{x \to c-0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0 であるゆえ、

\displaystyle \lim_{x \to c+0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0 \text{かつ} \lim_{x \to c-0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0 つまり \displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = 0

fが開区間で最小値をとる場合は, f = -fとすれば全く同様の議論ができる。 \Box

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ロルの定理-image-

Cauchy's mean value theorem

関数f,gが、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能だとする。また実数c ( a < c < b )でg'(x) \neq 0 for x in (a,b)を仮定する。このとき次が成り立つ。 \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

(proof)

\phi(x) = (f(b) - f(a)) (g(x) - g(a)) - (g(b) - g(a)) (f(x) - f(a))

と定義すると、 \phi(b) = \phi(a) = 0 より上のロルの定理が適用できて、次を得る。

\displaystyle \phi(c) = (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0

これより \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \Box

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平均値の定理-image-

l'Hôpital's rule

(i)関数f, gが、x = aの近傍で(aをのぞいて)微分可能とする。また、 g(x) \neq 0 でf(a) = g(a) = 0このとき、もし極限\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}が存在するならば、次が成り立つ。

\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

(ii) \lim_{x \to a} g(x) = \infty であるとき、極限\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (-\infty \geq l \geq \inftyが存在するならば、 \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}

(proof) (i)平均値の定理より、a近傍の点xに対し

\displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\epsilon_{x})}{g'(\epsilon_{x})} ここで\epsilon_{x} \in |x -a|

仮定から右辺の極限が存在し、x \to aの時、\epsilon_{x} \to aなので、 \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} を得る。\Box

(ii) |L| \neq \inftyの時、 仮定から、任意の\epsilonに対し、ある実数x_{1}が存在して、 |\frac{f'(x)}{g'(x)} - L | < \frac{\epsilon}{2} x s.t. | x - a| < |x_{1} - a|が成り立つ。

またこのx_{1}とxに対し、平均値の定理から、 \displaystyle \frac{f(x) - f(x_{1})}{g(x) - g(x_{1})} = \frac{f'(c)}{g'(c)}

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a近傍

従って、左辺分母分子をg(x)で割れば、

\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} ( 1 - \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)} ここで、実数cは | x - c | < | x_{1} - c |を満たしている。

よって、 \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} がわかるから、十分xを小さくとってくれば、 | \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{g'(x)}| < \frac{\epsilon}{2}

以上から、 | \frac{f(x)}{g(x)} - L | \leq | \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{g'(x)}| + | \frac{f'(x)}{g'(x)} - L | < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon

Lが無限大の時も同様にできる。\Box

lim_{x \to 0} \frac{x - sinx}{x^{3}}

lim_{x \to \frac{\pi}{2} -0} tanx^{cosx}

がロピタルを使って解けるようになった。

参考 解析入門基礎数学I（杉浦） 解析演習基礎数学I（杉浦） 理工系の微分積分学 （吹田）