以下、特に断らない限りf,gは実数上の実数値関数とする。

Rolle's Theorem

関数fを[a,b]上で連続, (a,b)で微分可能で、 $f(a) = f(b) = 0$ とする。このとき、a < c < b で $\ f'(c) = 0\$ を満たすcが存在する。

(proof)

$f \equiv 0$ ならば自明。以下 $f \neq 0$ とする。 fは有界区間上の連続関数だから、最大値と最小値をとる。x=c (a < c < b )で最大値Mをとるとする。以下、f'(c) = 0を示したい。
いま、次のいずれかの条件が成り立っている。
(i) $\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0$ if x >= c
(ii) $\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0$ if x <= c

これより、 $\displaystyle \lim_{x \to c+0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0$ かつ $\displaystyle \lim_{x \to c-0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0$ であるゆえ、

$\displaystyle \lim_{x \to c+0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \geq 0 \text{かつ} \lim_{x \to c-0} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} \leq 0$ つまり $\displaystyle \lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x - c} = 0$

fが開区間で最小値をとる場合は, f = -fとすれば全く同様の議論ができる。 $\Box$

f:id:hokuo-ryugaku:20191012173757p:plain — ロルの定理-image-

Cauchy's mean value theorem

関数f,gが、[a,b]で連続、(a,b)で微分可能だとする。また実数c ( a < c < b )で $g'(x) \neq 0$ for x in (a,b)を仮定する。このとき次が成り立つ。 $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

(proof)

$\phi(x) = (f(b) - f(a)) (g(x) - g(a)) - (g(b) - g(a)) (f(x) - f(a))$

と定義すると、 $\phi(b) = \phi(a) = 0$ より上のロルの定理が適用できて、次を得る。

$\displaystyle \phi(c) = (f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0$

これより $\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ $\Box$

f:id:hokuo-ryugaku:20191012173805p:plain — 平均値の定理-image-

l'Hôpital's rule

(i)関数f, gが、x = aの近傍で(aをのぞいて)微分可能とする。また、 $g(x) \neq 0$ で $f(a) = g(a) = 0$ このとき、もし極限 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在するならば、次が成り立つ。

$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

(ii) $\lim_{x \to a} g(x) = \infty$ であるとき、極限 $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L (-\infty \geq l \geq \infty$ が存在するならば、 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

(proof) (i)平均値の定理より、a近傍の点xに対し

$\displaystyle \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\epsilon_{x})}{g'(\epsilon_{x})}$ ここで $\epsilon_{x} \in |x -a|$

仮定から右辺の極限が存在し、 $x \to a$ の時、 $\epsilon_{x} \to a$ なので、 $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ を得る。 $\Box$

(ii) $|L| \neq \infty$ の時、仮定から、任意の $\epsilon$ に対し、ある実数 $x_{1}$ が存在して、 $|\frac{f'(x)}{g'(x)} - L |$ < $\frac{\epsilon}{2}$ x s.t. $| x - a|$ < $|x_{1} - a|$ が成り立つ。

またこの $x_{1}$ と $x$ に対し、平均値の定理から、 $\displaystyle \frac{f(x) - f(x_{1})}{g(x) - g(x_{1})} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

f:id:hokuo-ryugaku:20191012182945p:plain — a近傍

従って、左辺分母分子を $g(x)$ で割れば、

$\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)} = \frac{f'(x)}{g'(x)} ( 1 - \frac{g(x_{1})}{g(x)}) + \frac{f(x_{1})}{g(x)}$ ここで、実数cは $| x - c |$ < $| x_{1} - c |$ を満たしている。

よって、 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ がわかるから、十分xを小さくとってくれば、 $| \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{g'(x)}|$ < $\frac{\epsilon}{2}$

以上から、 $| \frac{f(x)}{g(x)} - L | \leq | \frac{f(x)}{g(x)} - \frac{f'(x)}{g'(x)}| + | \frac{f'(x)}{g'(x)} - L |$ < $\frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$