関数fについて、なぜ一様収束を考えるのか。

はじめに

区間I = [0, 1]上の関数列 ${ f(x_{n}) }_{n=1}^{\infty}$ 、 $f(x_{n}) = x^{n}$ を考えたい。明らかに、

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} x_{n} = 0 ( 0 \leq x \lt 1 ) = 1 ( x = 1) }$

従って、図は以下のようになるため、各点に収束した関数 $f(x) = 0 ( 0 \leq x \lt 1) = 1 ( x = 1)$ は、x = 1で不連続になってしまう。

f:id:hokuo-ryugaku:20191013022720p:plain — 各点収束

ここで、関数列の収束を考える上でもう少し「都合の良い」条件を考える必要がありそうだ。つまり、連続な関数列 $f(x_{n})$ が、その収束した先の関数 $f(x)$ も連続となるような条件はなんであろうか。

その答えが、「一様収束」という概念である。

一様収束

区間I上で連続な実数値関数列 $f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}$ が $f(x)$ に一様収束するとは、任意の正の $\epsilon$ に対し、ある自然数 $N$ が存在して、 $| f_{n}(x) - f(x)| \lt \epsilon ( n \geq N)$ が成り立つことである。

ポイントは、この収束がxに依存しないことである。先に見た関数の例 $f_{n}(x) = x^{n}$ では各点xで収束はするが、 $x=1$ の時この条件は成立しない。

まず、このときに必ず収束先のfが連続になることを示そう。

定理

区間I上で実数値関数列 $f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}$ が $f(x)$ に一様収束するとき、fもまた区間I上で連続な関数である。

(proof) まず関数列 ${f_{n}(x)}_{n=1}^{\infty}$ が $f(x)$ に一様収束しているから、任意の $x \in I$ と $\epsilon \gt 0$ に対して、 $| f_{n}(x) - f(x)| \lt \frac{\epsilon}{3} ( n \geq N)$ となる $n \in N$ が存在する。

次に、関数列 $f_{n}(x)$ の連続性から、任意の $x_{0} \in I$ と $\epsilon \gt 0$ に対して、 $| f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| \lt \frac{\epsilon}{3} ( | x - x_{0} | \lt \delta)$ となる $\delta \gt 0$ が存在する。

以上から、これらの $\epsilon, n, \delta$ に対して、 $| f(x) - f(x_{0}) | \lt | f(x) - f_{n}(x)| + | f_{n}(x) - f_{n}(x_{0})| + | f-_{n}(x_{0}) - f(x_{0})| \lt 3 * \frac{\epsilon}{3} = \epsilon$

であるとわかった。これが任意の $x_{0} \in I$ で成り立つので従って、 $f$ も区間I上で連続であると示された。

結論

これを踏まえて、一様収束の何が嬉しいのかというのは例をあげると、

微分と順序が入れ替えられる（項別微分）
積分と順序が入れ替えられる（項別積分）

が大学の1年生時点で理解する性質である。ここで、閉区間上の連続関数は（リーマン）積分可能ということが重要な性質であった。これらはもっと一般の関数解析の枠で考えた時に、与えられた関数列の性質を調べるのに非常に大切な概念である。（このとき距離は、一般化されたノルムという概念が導入される）。詳しいことは今後掲載する。

参考

解析入門基礎数学I（杉浦）
解析演習基礎数学I（杉浦）
理工系の微分積分学（吹田）

感性で学ぶ数学

数学のこと

一様収束性について

はじめに

一様収束

定理

結論

参考