与えられた関数列に対し、一様収束という概念を導入した。そしてその一様収束からもたらされる微分、積分に関する性質を考えた。つぎに、整級数に関する性質を調べていきたい。最終的にはテイラー展開のように、ある関数がx=a周りに整級数に展開できた時にそのx=a近傍で、関数がどのように振る舞うのかがわかる。（複素関数論）

本題の前に「整級数（冪級数）」と「収束半径」の定義をする。

整級数（冪級数）

$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (x - a)^{n} = a_{0} + a_{1}x + ... + a_{n} x^{n} + ... }$ で表される関数項級数を、x=aのまわりの冪級数という。以下、簡単のため、a = 0で議論を進める。

収束半径

次の条件が成り立つ実数 $R$ を、与えられた整級数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ の収束半径という。

(i) $|x| \lt R$ に対して、 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ は絶対収束する。

(ii) $|x| \gt R$ に対して、 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ は発散する

大事な定義ができたので、これから性質をみていきたい。

定理

ある整級数 $\sum a_{n} x^{n}$ に対し、 $\lim |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}| = r$ $( 0 \leq r \leq \infty)$ が存在すれば、その収束半径Rは
$\displaystyle{ R = \frac{1}{r} }$ である。

(proof) $\displaystyle{ \lim |frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} | = \lim frac{a_{n+1}}{a_{n}} ||x|} = r|x|$ より、ダランベールの判定法から、 $r|x| \lt 1$ のとき絶対収束、その他の時発散するからこれより絶対収束の条件は $|x| \lt \frac{1}{r}$ である。 $\Box$

定理

整級数 $\sum a_{n}x^{n}$ が収束半径Rを持つ時、 $|x| \lt R$ に含まれる任意の閉区間で一様収束する。つまり、無限和 $f(x) = \sum a_{n}x^{n}$ はこの区間 $|x| \lt R$ で連続である。

(proof) $r \lt R$ をとる。任意の $|x| \leq r$ に対して、一様収束することを示せば良い。題意より、 $|\sum a_{n}x^{n}| \leq \sum |a_{n}|r^{n}$ であり、右辺は収束し、任意の $n \in N$ について $|a_{n}x^{n}| \lt |a_{n}|r^{n}$ であるからワイエルストラスM判定法（優級数定理）より、 $\sum a_{n}x^{n}$ は一様収束する。

この定理と前回の定理から直ちに次が従う。

項別積分

整級数 $\sum a_{n}x^{n}$ の収束半径がRであるとき、 $|x| \lt R$ に含まれる任意の閉区間[a,b]で、次が成り立つ。
$\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sum a_{n}x^{n} dx = \sum \int_{a}^{b} a_{n}x^{n} dx }$

項別微分

整級数 $\sum a_{n}x^{n}$ の収束半径がRであるとき、このとき和 $f(x) = \sum a_{n}x^{n}$ は区間(-R, R)で微分可能で、次が成り立つ。
$\displaystyle{ \frac{d}{dx} \sum a_{n}x^{n} = \sum \frac{d}{dx}( a_{n}x^{n}) }$

(proof) $\sum na_{n}x^{n-1}$ の収束半径が、Rであることを示す。すると、この区間で一様収束し前回の定理から結論を得る。
あらためて、 $\sum na_{n}x^{n}$ の収束半径をR'とする。任意のnについて、 $|a_{n}x^{n}| \leq |na_{n}x^{n}|$ より明らかに $R' \leq R$ 。
今、 $r \lt R$ を満たすrに対し、任意のx s.t. $x \leq r$ について、 $|na_{n}x^{n}| = n|\frac{x}{r}|^{n}|a_{n}r^{n}|$ と変形すれば、数列 $n|\frac{x}{r}|^{n} \to 0$ なので、右辺は有界。すなわち $\sum na_{n}x^{n}$ は絶対収束する。従って、 $R \leq R'$ 。以上から、 $R = R'$