一様収束性についてである（関数）数列が一様収束である条件を見た。そこからどのような性質が導かれるのかが見てみたい。

コーシーの判定条件（収束条件）

(i)関数列 $f_{n}(x)_{n=1}^{\infty}$ が区間I上で収束するための必要十分条件は、任意の $\epsilon$ にたいし、ある自然数 $N$ が存在して $\displaystyle{ | f_n(x) - f_m(x) | \lt \epsilon}$ $(n \geq m \geq N)$ が成立することである。 (ii)関数項級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ が区間Iで収束するための必要十分条件は、任意の $\epsilon$ にたいし、ある自然数 $N$ が存在して $\displaystyle{ | f_n(x) + ... + f_m(x) | \lt \epsilon}$ $(n \geq m \geq N)$ が成立することである。

ワイエルストラスのM-判定法

関数項級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ に対して、ある数列 $M_n$ があって、区間I上で $\displaystyle { |f_{n}| \leq M_{n} ( n \in N)}$ かつ $\sum_{n=1}^{\infty} M_{n} \lt \infty$ が成り立つ時、 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ は区間I上で一様収束する。

(proof) 十分大きなnに対して、 $\displaystyle{| f_n(x) + ... + f_m(x) | \leq | M_n + ... + M_m | \leq \epsilon}$ （ここで、数列 $M_{n}$ がコーシー列であることを用いた）が成り立つので前コーシーの判定条件から一様収束する。 $\Box$

補題

整級数 $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ の収束半径をRとする。このとき、区間 $|x| \lt R$ で、 $\displaystyle f(x) = {\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ に一様収束する。すなわち、 $f$ はこの区間で、連続である。

(proof)
$r \lt R$ に対して、 $|x| \leq r$ で $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ が一様収束であることを示す。条件から、 $\sum_{n=0}^{n=l} |a_{n} x^{n} | \leq \sum_{n=0}^{n=l}|a_{n}| r^{n}$ であり、右辺が収束するので、ワイエルストラスのM判定法で左辺は一様収束する。これと、前回の結果から $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ は連続。 $\Box$

以上から、関数項級数に対して、一様収束するのならば、収束した関数も連続で、さらに有界 区間上で関数が定義されていれば、積分が可能ので積分（微分）との関係性をみることができるようになった。

積分と極限の交換と項別積分

(i)閉区間 $I=[a,b$ ]上で連続な関数列 $f_{n}$ がI上で収束するならば、次が成り立つ。

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n(x) dx = \int_{a}^{b} (\lim_{n \to \infty} f_n(x)) dx }$

(ii)閉区間 $I=[a,b$ ]上で関数項級数 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}$ が一様収束するならば、 $\displaystyle{ \int_{a}^{b} \sum f_n(x) dx = \sum \int_{a}^{b} f_n(x) dx }$

(proof)

(i)
以下 $lim f_{n} = f$ とする。補題から、 $f$ は閉区間上で連続だから積分可能である。一様収束から、任意の $\epsilon$ に対して、十分大きなnが存在して $| f_n(x) - f(x) | \lt \frac{\epsilon}{b-a}$ が成り立つ。従って、このnに対して
$\displaystyle{|\int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x)) dx| \leq \int_{a}^{b} |f_n(x) - f(x)| dx \lt \frac{\epsilon}{b-a} \int_{a}^{b} dx = \epsilon}$
が区間I上で成り立つ。すなわち、 $\lim \int_{a}^{b} (f_n(x) - f(x)) dx = 0$ 。 $\Box$

(ii)も同様に $S_{n} = \sum_{i=1}^{n} f_i(x)$ として示せば良い。 $\Box$

微分と極限の交換と項別積分

(i)各関数 $f_{n}(x)$ が区間I上で微分可能で、 $f'_{n}(x)$ が一様収束するとする。また、ある一点 $x_{0} \in I$ で $\lim f_{n}(x_{0}) = f(x_{0})$ であると仮定する。この時区間I上で $f_{n}(x)$ は $f(x)$ に収束し、次が成り立つ。
$\displaystyle{ f'(x) = \frac{d}{dx} (\lim f_n(x)) = \lim ( \frac{d}{dx} f(x)) }$

(ii)各関数 $f_{n}(x)$ が区間I上で微分可能で、関数項級数 $\sum f'_{n}(x)$ が一様収束するとする。また、 $\sum f_{n}$ ある一点 $x_{0} \in I$ で収束するのならば、この時区間I上で $\sum f_{n}$ は収束し、次が成り立つ。 $\displaystyle{ \frac{d}{dx} (\sum f_n(x)) = \sum ( \frac{d}{dx} f_{n}(x)) }$

(proof)

(i)
微積分の基本定理から、
$\displaystyle{ f_{n}(x) - f_{n}(x_{0}) = \int_{x_{0}}^{x} f'_{n}(t) dt }$ これより、
$\displaystyle{ f_{n}(x) = \int_{x_{0}}^{x} f'_{n}(t) dt + f_{n}(x_{0}) }$ ここで、 $f'_{n}(x)$ が一様収束することから前定理より積分と極限が交換できて、
$\displaystyle{ \lim f_{n}(x) = \int_{x_{0}}^{x} (\lim f'_{n}(t)) dt + f(x_{0}) }$ あとは両辺をxについて微分すれば求める方程式が得られる。 $\Box$
(ii)同様 $\Box$

　結果

従ってある特定の条件を満たす関数列に対しては、積分と極限を交換して計算しても良いということがわかった。最後に、逆に積分と極限の交換が成り立たない関数列についてみて終わりたい。

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図のように、 $f_{n}$ を $f_{n} = 0 ( x \geq \frac{1}{n}$ その他では図の三角形上の値をとる。 $\lim f_{n} = 0$ だが明らかに、x=0で一様収束はしない（ $\because \lim f_{n}(0) = \infty$ 。ここで積分を計算すると $\int_{x \gt 0} f_n(x)dx = 1$ （なぜなら積分値は三角形の面積）であるが、一方 $\int_{x \gt 0} \lim f_n(x)dx = \int_{x \gt 0} 0dx = 0$ 。よって積分と極限の交換が成立しない

これらの結果は、整級数の性質を調べる時にも使われる。